Thứ Bảy, 29 tháng 10, 2016

Tổng hợp các bài Toán cổ dân gian

Các bạn yêu Toán Tiểu học thân mến!

Nhằm mục đích giao lưu và học hỏi, nguyentrangmath.com sưu tầm một số bài toán cổ dân gian mời các bạn cùng tham gia giải. Các bạn lưu ý tất cả các bài dưới đây đều giải theo phương pháp tiểu học nhé!


Bài số 1. Toán cổ Hi Lạp

Tìm ba số sao cho số lớn nhất hơn số lớn thứ hai đúng bằng 1/3 số bé nhất, số lớn thứ hai hơn số bé nhất đúng bằng 1/3 số lớn nhất và số bé nhất hơn 1/3  số lớn thứ hai đúng bằng 10.

Bài số 2. Bài toán Ác-si-mét

Vua Heron lệnh cho một người thợ kim hoàn làm một vương miện, với 8 li vàng và 2 li bạc (li: đơn vị khối lượng). Đến hạn người thợ đã dâng lên vua vương miện nặng đúng 10 li. Nhà vua nghi ngờ và yêu cầu nhà toán học Ác-si-mét kiểm tra lại xem người thợ kim hoàn có lấy bớt vàng và thay bạc vào đó không.
Ác-si-mét đã làm như sau:
Đem vương miện nhúng trong nước (tất nhiên không để chạm vào đáy thùng) thì cân còn  li. Trong khi đó, cân 10 li vàng nhúng trong nước thì còn 9,5 li; cân 10,5 li bạc nhúng trong nước thì cũng còn 9,5 li.
Do vậy, Ác-si-mét suy ra điều nghi ngờ của nhà vua là đúng.
Căn cứ vào những số liệu trên đây, bạn có thể tính trong vương miện có bao nhiêu li vàng không?

Bài số 3. Chung tiền mua trâu

Bài toán. Nhiều gia đình chung nhau mua một con trâu. Nếu cứ 7 gia đình góp lại được 190 đồng tiền thì thiếu mất 330 đồng. Nếu cứ 9 gia đình góp lại 270 đồng thì dư được 30 đồng. Hỏi có mấy gia đình và con trâu giá bao nhiêu?

Bài giải tham khảo
Cứ 9 gia đình góp lại được 270 dồng thì 7 gia đình góp như thế sẻ được 270x7/9=210 đồng.
Cứ 7 gia đình góp lại được 210 dồng nhiều hơn 7 gia đình góp lại được 190 đồng là:
210-190=20 đồng
Có số nhóm gia đình 7 gia đình là (330+30):20 x 7=18( nhóm)
Có số gia đình là:18 x 7=126 (gia đình)
Giá tiền con trâu là:  18 x 190+330=3750 (đồng)

ĐS: 126 gia đình; con trâu giá:3750 đồng

Bài số 4. Tính độ sâu giếng nước

Bài toán. Năm nhà dùng chung một giếng nước. Để gầu múc chạm đến được mặt nước thì với 2 sợi dây thừng của nhà A thiếu đúng 1 dây thừng của nhà B, với 3 dây thừng của nhà B thiếu đúng 1 dây thừng của nhà C, 4 dây thừng của nhà C thiếu đúng 1 dây thừng của nhà D, với 5 dây thừng của nhà D thì cần thêm 1 dây của nhà E, còn với 6 dây thừng của nhà E thì thiếu 1 dây thừng của nhà A nữa.
Tính độ sâu của giếng và độ dài của mỗi dây thừng.

Bài số 5. Bài toán về “Hai bà lão”

Hai bà lão A và B khởi hành cùng một lúc từ hai thị trấn M và N và đi từ thị trấn này đến thị trấn kia. Họ gặp nhau lúc giữa trưa và bà A đến đích lúc 4 giờ chiều, còn bà B thì 9 giờ tối mới đến đích. Hỏi họ khởi hành lúc mấy giờ?

Cách giải tham khảo
cách 1:
Khi hai bà găp nhau lần đầu t giờ. Xem quảng đường MN là 1 phần
Thời gian bà A đi hết t+4. Mỗi giờ bà đi được 1/t+4 quảng đường.
Thời gian bà B đi hết t+9 . Mỗi giờ bà B đi là 1/ t+9 quảng đường.
Hai bà cần đi tiếp là: 4/t+4 + 9/t+9 =1. tx t= 6x6. nên t=6 giờ
Hai bà xuất phát lúc 12-6=6 giờ.
Cách 2:
Gọi vận tốc của bà A là a, vận tốc của bà B là b. Đến khi hai bà gặp nhau thì
-Tỉ lệ quảnh đường đi được của bà A và bà B là a/b (Trên cùng thời gian quảng đường tỷ lệ thuận với vận tốc)
-Tỷ lệ quảnh đường còn lại của bà A và bà B là b/a
-Tỷ lệ thời gian đi quảng đường còn lại của bà A và bà B là:
     b/a:a/b=4/9(quảng đường chia vận tốc) < = > b/a x b/a=4/9  = > b/a=2/3
Vậy từ khi đi đến lúc hai bà gặp nhau hết số thời gian là :   9x2/3=6(giờ)
Hai bà khởi hành lúc:12-6=6(giờ sáng)

ĐS: 6 giờ sáng

Bài  số 6. Stendhal và bài toán của Euler

Hai bà nông dân mang ra chợ tất cả 100 quả trứng, một bà có số trứng nhiều hơn bà kia, và hai người thu được một số tiền như nhau. Bà thứ nhất nói với bà thứ hai: nếu tôi có số trứng của bà, tôi sẽ thu được 15 crayxe. Bà thứ hai trả lời: nếu tôi có số trứng của bà, tôi sẽ chỉ được  crayxe. Vậy mỗi bà có bao nhiêu quả trứng?

Bài giải tham khảo
Giả sử người nông dân thứ hai có số trứng gấp m lần số trứng của người thứ nhất. Vì hai người bán trứng thu được cùng một số tiền như nhau nên người thứ nhất phải bán đắt hơn người thứ hai m lần. Nếu trước khi bán, họ đổi số trứng cho nhau thì người thứ nhất có số trứng gấp m lần số trứng của người thứ hai lại bán đắt hơn m lần nên sẽ thu được số tiền gấp m x m lần người thứ hai.
Suy ra: m x m = 15 : 20/3= 9/4 = 3/2 x 3/2, do đó m = 3/2
Số trứng của bà thứ nhất là:
100 : (2 + 3) x 2 = 40 (quả)
Số trứng của bà thứ hai là:

100 – 40 = 60 (quả)

Bài số 7. Toán cổ Hi lạp

Ba cô gái có cùng một số trái cây, gặp 9 chàng trai. Họ tặng cho mỗi chàng trai cùng một số trái cây. Sau đó thì mỗi chàng trai và mỗi cô gái có cùng một số trái cây. Hỏi mỗi cô gái lúc đầu có bao nhiêu trái cây?

Bài toán số 8. Bài toán của Ađam Rie

Một con ngựa giá 12 phlorin. Mỗi người trong ba người đi mua ngựa không đủ tiền để mua.
Người thứ nhất nói với hai người kia: “Mỗi người hãy đưa cho tôi nửa số tiền của mình thì tôi đủ tiền mua ngựa!”.
Người thứ hai nói với hai người bạn kia là: “Mỗi người đưa cho tôi 1/3 số tiền của mình, tôi sẽ lấy được ngựa!”.
Cuối cùng, người thứ ba nói: “Chỉ cần các anh đưa cho tôi 1/4 số tiền của mình thì con ngựa sẽ là của tôi!”.
Hãy cho biết mỗi người có bao nhiêu tiền ?

Bài số 9. Toán cổ Hi lạp

Chuyện kể rằng Polyphème được đúc thành một tượng đồng khổng lồ một mắt. Sau đó cho nước chảy qua ống tay, qua mắt và qua miệng của tượng khổng lồ một mắt đó. Biết rằng vòi nước chảy ra từ ống tay sau 3 ngày thì đầy bể nước, vòi nước chảy ra từ mắt sau 2 ngày thì đầy bể nước, còn vòi nước chảy ra từ miệng thì chỉ sau 2/5  ngày là đầy bể nước. Hỏi cả 3 vòi nước cùng chảy một lúc thì bao lâu sẽ đầy bể nước?

Bài giải tham khảo:
Một ngày vòi nước cháy từ ống tay chảy được 1/3 bể
Một ngày vòi nước cháy từ mắt chảy được 1/2 bể
Một ngày vòi nước cháy từ miệng chảy được 5/2 bể
Một ngày cả 3 vòi chảy được:
1/3 + 1/2 + 5/2 = 20/6(bể)
Thời gian để cả 3 vòi nước cùng chảy một lúc đầy bể là:
1 : 20/6 = 6/20 (ngày)

ĐS: 6/20 ngày

Bài số 10. Toán cổ Nga

Một người đi bộ từ thành phố về quê mất 17 ngày. Một người khác đi bộ từ quê lên thành phố hết 20 ngày. Cả hai cùng xuất phát một giờ nơi mình đi. Hỏi sau bao lâu họ gặp nhau?
Cách giải tham khảo
Một ngày người thứ nhất đi được 1:17=1/17(quãng đường)
Một ngày người thứ nhất đi được 1:20=1/20 (quãng đường)
Một ngày cả người đi được :1/17+1/20=37/340 (quãng đường)
Thời gian từ khi đi đến khi họ gặp nhau là:1:37/340=340/37(ngày)

Đ/S:340/37 ngày=9 ngày 7/37ngày

Bài số 11. Toán vui nước Nga

Một người Pháp vui tính bước vào quán rượu với một số tiền trong túi, anh ta vay chủ quán một số tiền bằng số tiền mình có và khi ra về anh ta phải trả tiền rượu 1 rup. Với số tiền còn lại anh ta lại vào quán rượu thứ hai, lại vay một số tiền đúng bằng số tiền trong túi và lại phải trả 1 rup tiền rượu khi đi ra. Cứ như vậy anh ta vào quán thứ ba, thứ tư. Biết rằng ra khỏi quán thứ tư thì anh ta hết sạch tiền.
Hỏi lúc đầu anh ta có bao nhiêu tiền?

Đáp án tham khảo:
Khi ra khỏi quán ba thì anh ta có số tiền là:1: 2 = 0,5(rúp)
Sau khi ròi quán thứ hai thì anh ta có số tiền là: (0,5 +1) :2= 0,75(rúp)
Sau khi rời quán thứ nhất thì anh ta có số tiền là: (0,75 +1) :2 =0,875(rúp)
Lúc đầu anh ta có số tiền là:(0,875+1):2 =0,9375(rúp)
Đáp số: 0,9375rúp

Bài số 12. Toán cổ Ai Cập

Một người lấy đi 1/13 báu vật trong kho, một người khác lấy đi 1/17 báu vật còn lại và như vậy kho báu còn lại 192 báu vật. Hỏi lúc đầu kho báu có bao nhiêu báu vật?

Đáp án tham khảo:
192 báu vật chiếm số phần báu vật còn lại sau khi người thứ nhất lấy là: 1- 1/17= 16/17(số báu vật còn lại)
Sau khi người thứ nhất lấy thid số báu vật còn lại là:192 x17 : 16 = 204( báu vật)
204 báu vật này chiếm số phần báu vật là: 1 - 1/13 = 12/13(số báu vật)
Số báu vật trong kho là: 204 x 13 : 12 =221(báu vât)
Đáp số 221 báu vật

Bài số 13. Toán cổ Hi Lạp

Một người hỏi thần thời gian Khronos rằng: Bao nhiêu giờ của một ngày đã trôi qua rồi? Thần trả lời rằng: Bây giờ chỉ còn lại 2 lần 2/3  của số giờ đã trôi qua. Vậy bao nhiêu giờ đã trôi qua, biết rằng người Hi Lạp cổ tính một ngày chỉ có 12 giờ?

Bài số 14. Toán cổ Trung Hoa

Khối lượng của một đống vàng có 9 thỏi và một đóng bạc có 11 thỏi là bằng nhau, nếu chuyển 1 thỏi vàng sang đống bạc và 1 thỏi bạc sang đống vàng thì đống vàng nhẹ đi 13 lượng. Hỏi khối lượng mỗi thỏi vàng, mỗi thỏi bạc là bao nhiêu?

Đáp án tham khảo
Khi chuyển một thỏi vàng sang đống bạc và chuyển một thỏi bạc sang đống vàng thì đống vàng nhẹ đi 13 lượng như vậy một thỏi vàng nặng hơn một thỏi bạc là 13 lượng.
9 thỏi vàng nặng hơn 9 thỏi bạc là:
9 x 13 = 117 (lượng)
bạc hơn vàng số thỏi là:
11 - 9 = 2 (thỏi)
Một thỏi bạc cân nặng:
117 : 2 = 58,5 (lượng)
Một thỏi vàng cân nặng:
58,5 + 13 = 71,5 (lượng)
       Đáp số: thỏi vàng nặng:71,5 lượng
                    thỏi bạc nặng: 58,5 lượng

Bài số 15. Toán cổ Trung Hoa (tiếp)

Người ta bán 2 con trâu, 5 con cừu để mua 13 con lợn thì còn thừa 1000 đồng. Đem bán 3 con trâu, 3 con lợn rồi mua 9 con cừu thì vừa đủ, còn nếu bán 8 con cừu, 8 con lợn để mua 5 con trâu thì thiếu 600 đồng.
Hỏi mỗi con trâu, cừu, lợn giá bao nhiêu ?


Bài toán số 16. Toán cổ nước Nga

Một bác nông dân mang trứng ra chợ bán. Bác bán cho người thứ nhất nửa số trứng bớt đi 6 quả, người thứ hai 1/3 chỗ còn lại bớt đi 6 quả, người thứ ba 1/4 chỗ còn lại bớt đi 6 quả. Thế mà bác vẫn còn đúng nửa số trứng bác đem ra chợ. Hãy tính xem bác đem ra chợ bao nhiêu quả trứng và bán cho mỗi người bao nhiêu quả?

Đáp án tham khảo
Lần 1 bán:1/2 số trứng-6 quả
Sau khi bán  còn:   số trứng- (1/2 số trứng -6 quả) =  1/2 số trứng +6 quả
Lần 2 bán: 1/3x(1/2 số trứng +6 quả)-6 quả=(1/2 số trứng -4 quả)
Sau khi bán  còn: (1/2 số trứng +6 quả) -(1/2 số trứng -4 quả)=2/6 số trứng +10 quả
Lần 3 bán: 1/4x(2/6 số trứng +10 quả)= 1/12 số trứng +10/4 quả-6 quả
Sau khi bán  còn:( 2/6 số trứng +10 quả)- (1/12 số trứng +10/4 quả-6 quả)=
3/12 số trứng +16 quả-10/4 quả. Lúc này vẫn còn 1/2 số trứng. Vậy:
3/12 số trứng +16 quả-10/4 quả=1/2(số trứng)
Suy ra: 3/12 số trứng=54/4(quả)
Bác nông dân đem ra chợ số trứng là:54/4 : 3/12=54(quả)
Bán cho người thứ nhất số trứng là: 54:2-6=21(quả)
Bán cho người thứ hai số trứng là: (54-21)x1/3-6=5(quả)

Bán cho người thứ ba số trứng là: (54-21-5)x1/4-6=1 (quả)

Bài toán số 17. Một bà lái buôn đem 9 chục quả trứng giao cho 3 cô con gái mang ra chợ bán. Bà giao cho cô chị cả 1 chục, cô hai 3 chục và cô út 5 chục. Sau đó bà dặn thêm: Các con cần thỏa thuận trước giá với nhau và khi đã thống nhất rồi thì không được thay đổi. Mẹ hi vọng rằng tổng số tiền chị cả bán được bằng số tiền cô thứ hai bán 30 quả và bằng số tiền cô út bán 50 quả, đồng thời các con đều bán được trứng với giá không ít hơn 10 côpêc một chục và tổng số tiền bán được của các con không ít hơn 90 côpêc hoặc 30 antưn (1 antưn = 3 côpêc). Hỏi các cô gái thực hiện lời mẹ dặn như thế nào?

Bài toán số 18. Trả nợ và lấy nợ thế nào đây ?

Có 7 anh chàng sinh viên sống chung trong một căn nhà nhỏ. Họ đã cho nhau vay những món tiền nhỏ. Mỗi người đều ghi số tiền mình vay và số tiền mình cho vay nhưng không ghi cho ai vay và vay của ai. Trước khi ra trường, họ quyết định thanh toán nợ nần với nhau và đã thanh toán rất sòng phẳng bằng một cách rất đơn giản. Đó là cách nào vậy ?
Đáp án tham khảo: 7 anh chàng lấy một cái hộp không "hộp mì tôm" chẳng hạn - vì sinh viên hay ăn mì tôm. Sau đó quy định: bỏ số tiền mình đã vay vào hộp sau đó lấy ra từ hộp số tiền mình đã cho vay thế là ok !

Nguyễn Trang tổng hợp theo gdhatinh